一、核心步骤（固定流程）#

1. 找零点

令 $ax^2+bx=0$，解出根 $x_1=0,\ x_2=-\dfrac{b}{a}\ (a\neq0)$，零点是图像翻折的分界点。
2. 判断开口与对称轴
二次内层 $g(x)=ax^2+bx$，对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}$；
$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下。
3. 分段去绝对值
在两根区间内外，判断 $g(x)$ 正负：

• $g(x)>0$：$f(x)=g(x)$，单调性和内层完全一致；
• $g(x)<0$：$f(x)=-g(x)$，单调性和内层完全相反。

4. 分段写单调区间，再对照题目给定区间判断增减。

二、例题（$b=1$，$f(x)=|ax^2+x|$，区间 $(-\infty,0)$）#

三、充要条件快速结论#

对 $f(x)=|ax^2+x|$ 在 $(-\infty,0)$ 单调递减：
$\boldsymbol{f(x)\text{在}(-\infty,0)\downarrow \iff a\le0}$
双向可推，充分必要。

四、选择题避坑提醒#

1. 看清题干条件是 $a\le0$ 还是 $a<0$：

• 条件 $a<0$：充分不必要；
• 条件 $a\le0$：充要；

2. 优先判断负半轴有没有零点：若 $a>0$ 负半轴必有零点，图像会“翻上去”，一定存在递增段；
3. 遇到区间只取负数，不用分析 $x>0$ 部分，节省计算时间。